Les Babyloniens auraient inventé une trigonométrie bien plus simple que la nôtre…

Une possible explication sur une tablette vieille de 3.700 ans qui a peut-être livré ses secrets. Clin d’œil à SohCahToa…

La tablette babylonienne Plimpton 322. — New South Wales University

Ah, la trigonométrie. Cauchemar pour certains au collège et au lycée, l’étude des distances et des angles dans les triangles est utilisée partout, de l’architecture à l’astronomie. Et si on crédite les Grecs Pythagore et surtout Hipparque pour son invention, il semble que les Babyloniens les aient précédés près de 1.000 ans. Avec une méthode bien plus simple.

Le mathématicien australien Daniel Mansfield pense avoir enfin percé les secrets de la tablette Plimpton 322, un trésor archéologique vieux de 3.700 ans. Ce chercheur de l’université New South Wales publie ses conclusions dans la revue Historia Mathematica. Et selon lui, cette sorte de tableau couverts d’inscriptions cunéiformes est une table trigonométrique pour différents triangles rectangles.

Calculs en base 60 sans cosinus

La différence principale avec la trigonométrie grecque que nous utilisons de nos jours, c’est que les Babyloniens n’utilisaient ni angles ni les fonctions complexes sinus, cosinus et tangente. Leur table exprimait simplement des ratios entre des longueurs. Et parce que leurs mathématiques étaient en base 60, ils avaient des chiffres exacts et pas des arrondis, ce qui était pratique pour calculer la pente d’une pyramide.

Le problème de la base 10, c’est qu’elle n’a que deux diviseurs stricts (2 et 5). La base 60, qu’on utilise encore pour le temps (heure, minute, seconde), elle, en a dix (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 et 30). Du coup, une fraction a/b est beaucoup plus souvent un chiffre rond et fini. Un tiers d’heure est vingt minutes. Essayez de couper une planche de 1m en trois parties exactement égales, c’est impossible.

Illustration cercle trigonométrique (Khan Academy)

Hipparque, lui, s’appuie sur le fameux cercle trigonométrique. Et si les fonctions mathématiques sinus et cosinus sont également basées sur les rapports entre les côtés d’un triangle rectangle et l’hypoténuse (la fameuse formule magique SOH-CAH-TOA rappellera des souvenirs à certains), on se retrouve souvent à manipuler des nombres irrationnels du genre Racine (2)/2. A quand l’enseignement de la trigonométrie babylonienne à l’école?

Source 20Minutes/science

11 commentaires

  • Quand je vois le Professeur Cosinus, je prend la tangente.

  • SohCahToa

    @Voltigeur, comme si vous saviez que j’allais commenter sur cet article :-)

    Bravo au Pr Daniel Mansfield qui ait pu decrypter cette tablette babylonienne. Autrement dit, il n’y a pas vraiment de miracle dedans. C’est juste une « lookup table » pour les angles remarquables. La coincidence pratique c’est que le comptage en base 60 donne lieu a une liste plus grande de valeurs remarquables.

    La methode Greque, basee sur le cercle trigo, est plus exacte car les loi trigo sont exactes qq soit l’angle.

    A propos de base de comptage, il y a peut etre qqc manquant dans la langue Francaise dans les plages 70 et 90. Pourquoi dire 80 + 15 pour 95, au lieu de nonante-cinq ou ninety-five?

  • Kool

    80+15 etc… pcq c’est un « reste » du système de mathématique celtique qui est vicésimal (base de 20 chiffres), comme celui des anciens mayas notamment. Cela requérait d’ailleurs une plus grande intelligence pour compter avec ce système, d’après le magasine sciences et vie. https://lesmoutonsenrages.fr/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif

    • SohCahToa

      Pas convaincant. Le « genie » qui avait mis en place le comptage a la francaise avait-t-il eu un trou d’inspiration pour 3x, 5x, 6x ? Du genre vingt dix-sept pour 37 et deux vingt treize pour 53?

      Quant a « Cela requérait d’ailleurs une plus grande intelligence pour compter avec ce système » cela reste a demontrer. Memoriser une suite de chiffres est plus complique avec ce systeme. Prendre des notes stenos, Lorsque l’on entend « quatre vingt quinze », on pense d’abord 4, et puis 4×20, et zut finalement c’est 4 x 20 + 15.

      Si c’est cela le concept « d’intelligence » je suppose que l’auteur de l’article dans S&V faisait de la derison. De la meme maniere que le systeme de mesure imperiale aux USA ne rend pas les jeunes americains plus fort en maths (peut etre meme le contraire en realite).

      Autrement, on peut encore pousser l’intelligence jusqu’au point ou il suffit du constant zero d’une seule fonction pour compter. Pour compter jusqu’a 95. Il suffit de composer la fonction Suivant() 95 fois. Example: S(S(S(0))) = 3

  • gneu

    Bonjour,

    petite remarque au sujets de la trigonométrie en passant : tout ce que vous appris sur les relations métriques dans un triangle rectangle (cos = adj / hyp, sin = opp / hyp etc.), tout ce qui tourne autour du théorème de Pythagore et tout ce qui touche à la mesure de la circonférence du cercle est parfaitement VRAI en GEOMETRIE PLANE…

    Or, jusqu’à preuve du contraire, nous vivons sur un monde qui se modélise plutôt par une SPHERE que par un PLAN. Bien sûr, sur des courtes distances, il n’y a pas soucis. Un carreleur qui veut calculer la diagonale d’une pièce rectangulaire pourra faire confiance à Pythagore… Mais sur des grandes distances… tout cela tombe à l’eau. Par exemple, en aviation, sur des grandes distances, le théorème de Pythagore est faux… L’histoire de la somme des mesure des trois angles d’un triangle qui vaut 180 ° (ou pi radians), ça ne marche plus avec un grand triangle sphérique ! Sur une sphère, on peut même facilement faire un triangle ayant 3 angles droit en plaçant un sommet au pole et les deux autres sur l’équateur… De plus, sur la sphère, le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre n’est plus égal à pi…. Ce n’est même plus une constante… Cela dépend de la taille du cercle !

    Marrant tout cela non ?

    Alors petite question : pourquoi n’apprend-on pas les bases de la géométrie sphérique à l’école ? Ce serait plus intéressant que la traditionnelle géométrie plane d’antan (même s’il y a, bien sûr, de très beaux problèmes de géométrie plane).

    • SohCahToa

      Vous trouverez Pi dans un cercle, meme dans en geometrie spherique. Le calcul de circonference sera « corrige » avec un facteur dependant de la courbure. Mais Pi est bien la.

      Je suppose que la geometrie plane est encore valable pour le calcul de trajectoire d’un satellite a l’interieur du systeme solaire. Mais les mesures topographiques que le satellite fait sur une lune de Jupiter par exemple aurait besoin de la geometrie spherique. En poussant plus loin on peut encore dire que la geometrie plane et courbe deviennent incorrectes dans un espace courbe, par exemple, en presence d’une forte gravite.

      Pourquoi on ne les apprend pas a l’ecole? Heureseument que non. Car dans tres grand majorite des cas pratiques, on n’a pas besoin. De la meme maniere, lorsque l’on fait des calculs mecaniques, on neglige l’influence de la gravite du soleil ou du centre de la galaxie. Il y a un tas de cas particuliers, lorsque c’est necessaire, les specialistes sauront trouver l’outil mathematique adequats. Ce n’est pas la peine de surcharger le commun des mortels avec une complexite lorsque c’est non-necessaire.

      • gneu

        En géométrie plane, on n’a pas le droit de sortir du plan. En géométrie sphérique, on n’a donc pas le droit de sortir de la sphère. Ce qui change avec les cercles sur la sphère, c’est la mesure de leur diamètre qui se fait donc en restant à la surface de la sphère. Assimilons par exemple notre chère planète Terre a une sphère et considérons le cercle équatorial. Fixons sa circonférence à 40 000 km. Maintenant quel est le diamètre de ce cercle en géométrie sphérique ? Eh bien, pour joindre deux points opposés de ce cercle, je dois passer par un pôle. J’ai donc un diamètre de 20 000 km. Le rapport circonférence / diamètre est alors égal à 2 et non à pi. Maintenant, vous pouvez vous amuser à recommencer le calcul avec un cercle polaire. Vous allez trouver un rapport proche de 3. Oui, je sais, c’est étrange… On a envie d’aller en ligne droite pour joindre deux points opposés car notre esprit est formaté « espace euclidien » mais en géométrie sphérique, on ne traverse pas la Terre. Un avion ne passe pas à l’intérieur de la Terre pour joindre deux villes, il suit une courbe de loxodromie qui reste à la surface…
        La géométrie plane n’existe nul part dans la nature (un cercle parfait non plus d’ailleurs). Ce ne sont que des modèles mathématiques sortis du cerveau humain. Dans ce sens, le nombre pi est un concept humain et pas vraiment une constante universelle.
        Mais chacun son avis sur ces sujets hein !
        Bien cordialement.

      • SohCahToa

        Oh ne pas quitter la sphere? C’est subtil en effet. Merci pour l’exemple. Dans ce contexte, c’est quoi un « cercle polaire » ? Si c’est un cercle qui passe par les poles, en quoi est-il different du cercle équatorial? La sphere devrait elle avoir une symetrie … spherique?

  • manguetsou

    Il parrait que c’est pas vrai!
    Il parrait que c’est les Rockchild et les Rockfeller qui ont imposés
    le système décimale, parce qu’ils pouvaient prendre les sous après la virgule, alors qu’avec celui en base 6, y avait plus de comptes qui tombairent justes, alors y z’avaient moins de sous.
    Il parrait que c’est une grille de loto babylonienne en base 6 et les gagnants touchaient les sous après la virgule.
    Il parrait que c’est vrai. « Enfin comme toujours c’est vous qui voyaient. »

Laisser un commentaire